正多边形与圆的关系学习主要是了解正多边形与圆的内接和外切的关系。其中涉及多边形的边长，圆的半径，边心距，中心角，周长和面积，这些都是正多边形有关计算的重要的量。这部分学习的重点在多边形的性质掌握的前提下，与圆相结合，形成内接四边形和外切四边形两种形式，其难点主要在于圆的内接多边形和内接圆的应用。

一、学习目标

1.掌握圆内接多边形的性质；

2.掌握内接圆的性质；

3.掌握圆内接多边形和内接圆的应用.

二、知识点总结与梳理

1.三角形的内心、外心、重心、垂心

(1)三角形的内心：是三角形__________的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示．

(2)三角形的外心：是三角形__________的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示．

(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示．

(4)垂心：是三角形三边高线的交点．

2.三角形的内切圆、外接圆

三角形的内切圆：对比三角形的外接圆来学习三角形的内切圆

三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆

三角形外接圆的圆心叫三角形的外心

三角形的外心到三角形______________相等

三角形的外心是三角形三边中垂线的交点

三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆

三角形内切圆的圆心叫三角形的内心

三角形的内心到_________的距离相等

三角形的内心是三角形三角平分线的交点

3.圆内接四边形和外切四边形

(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角________，外角等于内对角．

(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形______________．

4.正多边形与圆

在正多边形的有关计算中，如果分别以αn、an、rn、Rn、Pn和Sn表示正n(n≥3,n为整数)边形的中心角、边长、边心距、半径、周长和面积，则有：

注意两点：

1.构造直角三角形（弦心距、边长的一半、半径组成的）求线段之间的关系等；

2.准确记忆相关公式。 （公式的记忆千万不要死记硬背，根据上图当中条件相对应于每个公式进行理解性的记忆，结合图形更容易牢记。）

三、经典例题解析

1. 利用三角形的内心求角度

【例1】如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC=（ ）

A．130° B．100° C．50° D．65°

【解析】此题解题的关键是弄清三角形内切圆的圆心是三角形内角平分线的交点．

请输入描述

2. 三角形外接圆问题

【例2】正三角形的外接圆半径是R，则它的边长是（ ）

【解析】正三角形的外接圆边长是半径的根号3倍，圆心与三角形两个顶点的连线是一个顶角为120°的等腰三角形，可证倍数关系，带入即可。

3.内切、外接、外切问题的综合

【例3】正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O上，点P在劣弧CD上不同于点C得到任意一点，则∠BPC的度数是（ ）

【解析】圆的内接正方形，内心外心重合，可求∠BOC的度数，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半，∠BPC是∠BOC的一半即可。

4.内切圆综合题

【例4】已知：如图，△ABC三边BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆O的半径长为r．求△ABC的面积S．

【解析】连接圆心和切点，把三角形分成三个小三角形，而且有现成的底和高就可以求出每个小三角形的面积，加起来可得大三角形的面积。

请输入描述

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5. 正多边形和圆

【例5】正六边形两条对边之间的距离是2，则它的边长是（ ）

【解析】正六边形是正多边形中最重要的多边形，要注意正六边形的一些特殊性质。△ABF是含120°角的等腰三角形，以△ABF为研究对象即可求。

练习9. 求证圆的外切正多边形的面积等于其周长与圆的半径的积的一半.

【解析】外切正多边形可分成与边数相同个数的等腰三角形,其面积之和为正多边形的面积,而每个小三角形的面积恰是边长与圆半径积的一半,故题易证. 圆的外切（或内接）正多边形的周长.面积的计算要通过所分成的n个等腰三角形进行，这也是由复杂到简单的一种转化，象四边形的问题一样，正n边形的问题首先应转化为三角形的问题，转化是解决数学问题的关键。

写在最后:正多边形与圆的关系主要分为两种，一种是内圆的内接多边形和外接多边形，只要掌握这两个重点的性质和特点，那么在接下来的实际应用当中只要能够在实际的问题当中剥离出来，那么解决这部分的问题还是很简单的，特别是在记忆常见的计算公式时，一定要结合图形的特点，这样记起来知识点才能更加的牢固。