大学物理高斯定理(大学物理高斯定理适用范围)

今天给各位分享知识,其中也会对大学物理高斯定理(大学物理高斯定理适用范围)进行解释,如果碰巧正解决了您的问题,别忘了关注本站,不多说各位现在让我们开始吧高斯的博士

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高斯的博士论文解决的问题

高斯在他的博士论文中证明了如下的命题,使之升级为了定理:一个带有复数系数的n次代数方程g(x)=0,其中n为正整数:

大学物理高斯定理(大学物理高斯定理适用范围)

至少有一个复数解。(在这里我们把实数看成虚部为零的复数)

人们称上述高斯的结论为代数基本定理。

上述定理在欧拉的有生之年都未得到证明,但是欧拉直接将其应用到了无穷级数的研究当中。

应用上述定理可证明如下命题: 多项式g(x): 可以恰好分解为n个一次因式的乘积: 其中b1,b2…bn是g(x)=0的所有的根。

我们可以应用高斯论文中的结论证明这个命题!

证明让我们考虑如下的多项式:

我们发现当给这个多项式乘以一个因子x-a时,我们有:

这样我们得到了一般的结论: 根据上述公式我们可以知道:

下面我们观察一个多项式g(x)如下图所示:

由高斯论文中的结论可知,g(x)=0必有一个复数根我们记为b,那么我们观察如下推导,我们得到了之前我们探究过的因式分解的形式:

因为g(b)=0我们可知:g(x)-g(b)=g(x),我们可以提出一个因子x-b得到如下关系:

我们对h(x)也进行g(x)的操作,我们可以不断这样操作,不断地提取因子,将g(x)写成如下形式:

此时我们还不知道这些b1,b2…bn 是不是g(x)=0的所有的根,我们假设不是这样的,还有另一个根c,我们得到了如下复数乘积的形式,由于c是g(x)的根,所以g(c)=0:

如果若干复数相乘乘积为零,必须至少有一个复数为零 ,因此可知c是b1,b2…bn 中的一个,所以我们证明了b1,b2…bn是g(x)=0的所有的根。

因此我们根据高斯博士论文中的结论证明了多项式g(x)可以恰好分解为n个一次因式的乘积。

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